spiral( Helices ) Spiral Wikipedia 참조
나선의 개념
수학에서 나선은 점에서 뻗어 나온 곡선으로, 점 주위를 회전하면서 더 멀어집니다. 소용돌이 패턴의 하위 유형으로, 동심원 물체를 포함하는 광범위한 그룹입니다.
In mathematics, a spiral is a curve which emanates from a point, moving further away as it revolves around the point.[1][2][3][4] It is a subtype of whorled patterns, a broad group that also includes concentric objects.
Cutaway of a nautilus shell showing the chambers arranged in an approximately logarithmic spiral
American Heritage Dictionary에서 "spiral"의 두 가지 주요 정의는 다음과 같습니다
점으로부터 지속적으로 증가하거나 감소하는 거리에서 고정된 중심점 주위를 감는 평면의 곡선입니다.
축에 평행하게 이동하면서 일정하거나 연속적으로 변하는 거리에서 축 주위를 회전하는 3차원 곡선; 나선.
첫 번째 정의는 평면 내에서 수직 방향 모두로 확장되는 평면 곡선을 설명합니다. 축음기 레코드의 한쪽 면에 있는 홈은 평면 나선에 매우 가깝습니다(그리고 그것은 홈의 유한한 너비와 깊이에 의해서이지만 트랙 내부보다 더 넓은 간격에 의해서가 아닙니다. 완벽한 예가 되기에는 부족합니다). 연속적인 루프는 지름이 다릅니다. 또 다른 예로, 나선은하의 팔의 "중심선"은 대수적 나선을 추적한다.
두 번째 정의에는 두 종류의 나선형 3차원 상대가 포함됩니다.
원뿔형 또는 소용돌이 모양의 스프링 (배터리 상자에서 AA 또는 AAA 배터리의 음극 단자를 고정하고 접촉하는 데 사용되는 스프링 포함)과 싱크대에서 물이 배수 될 때 생성되는 소용돌이는 종종 나선형 또는 원뿔형 나선으로 설명됩니다.
매우 명시적으로, 정의 2에는 원통형 코일 스프링과 DNA 가닥도 포함되며, 둘 다 상당히 나선형이므로 각각에 대해 "나선"보다 "나선"이 더 유용한 설명입니다. 일반적으로 "나선형"은 곡선의 연속적인 "루프"가 동일한 지름을 갖는 경우 거의 적용되지 않습니다. [5]
측면 사진에서 하단의 검은색 곡선은 아르키메데스 나선이고 녹색 곡선은 나선입니다. 빨간색으로 표시된 곡선은 원뿔형 나선입니다.
Two major definitions of "spiral" in the American Heritage Dictionary are:
a curve on a plane that winds around a fixed center point at a continuously increasing or decreasing distance from the point.
a three-dimensional curve that turns around an axis at a constant or continuously varying distance while moving parallel to the axis; a helix.
The first definition describes a planar curve, that extends in both of the perpendicular directions within its plane; the groove on one side of a gramophone record closely approximates a plane spiral (and it is by the finite width and depth of the groove, but not by the wider spacing between than within tracks, that it falls short of being a perfect example); note that successive loops differ in diameter. In another example, the "center lines" of the arms of a spiral galaxy trace logarithmic spirals.
The second definition includes two kinds of 3-dimensional relatives of spirals:
A conical or volute spring (including the spring used to hold and make contact with the negative terminals of AA or AAA batteries in a battery box), and the vortex that is created when water is draining in a sink is often described as a spiral, or as a conical helix.
Quite explicitly, definition 2 also includes a cylindrical coil spring and a strand of DNA, both of which are fairly helical, so that "helix" is a more useful description than "spiral" for each of them. In general, "spiral" is seldom applied if successive "loops" of a curve have the same diameter.[5]
In the side picture, the black curve at the bottom is an Archimedean spiral, while the green curve is a helix. The curve shown in red is a conical spiral.
An Archimedean spiral (black), a helix (green), and a conical spiral (red)
2차원 나선
극좌표와 데카르트 좌표 사이의 변환
극좌표와 데카르트 좌표 사이의 관계를 보여주는 다이어그램입니다.
복소수
수학적 관계에 의해 생성된 나선.
가장 중요한 종류의 2차원 나선은 다음과 같습니다.
아르키메데스 나선: r=aφ
쌍곡선 나선: r=a/φ
페르마의 나선: r=aφ1/2
리투우스: r=aφ−1/2
로그 나선: r=aekφ
Cornu 나선형 또는 clothoid
테오도로스의 나선(The Spiral of Theodorus) 원의 나선형
황금비의 나선 golden-ratio spiral( Helices ) ( 별첨 참조)
Some of the most important sorts of two-dimensional spirals include:
The Archimedean spiral: r=aφ
The hyperbolic spiral: r=a/φ
Fermat's spiral: r=aφ1/2
The lituus: r=aφ−1/2
The logarithmic spiral: r=aekφ
The Cornu spiral or clothoid
The Spiral of Theodorus: an approximation of the Archimedean spiral composed of contiguous right triangles
The involute of a circle
The Fibonacci spiral and golden spiral
예를 들어, 아르키메데스 나선은 카펫을 감는 동안 생성됩니다.
쌍곡선 나선은 특별한 중앙 투영이 있는 나선의 이미지로 나타납니다(다이어그램 참조). 쌍곡선 나선은 원-반전이 있는 아르키메데스 나선의 이미지이기 때문에 때때로 왕복 나선이라고 불립니다(아래 참조).
로그 나선이라는 이름은 방정식 때문입니다. φ=1k⋅lnra. 이에 대한 근사치는 자연에서 찾을 수 있습니다.
처음 5 가지 예제의이 체계에 맞지 않는 나선은 다음과 같습니다.
코르누 나선에는 두 개의 점근점이 있습니다.테오도로스의 나선은 다각형입니다.피보나치 나선(Fibonacci Spiral)은 일련의 원형 호로 구성됩니다.원의 인나선트는 아르키메데스처럼 보이지만 그렇지 않습니다: Involute#Examples를 참조하세요.
An Archimedean spiral is, for example, generated while coiling a carpet.
A hyperbolic spiral appears as image of a helix with a special central projection (see diagram). A hyperbolic spiral is some times called reciproke spiral, because it is the image of an Archimedean spiral with a circle-inversion (see below).
The name logarithmic spiral is due to the equation φ=1k⋅lnra. Approximations of this are found in nature.
Spirals which do not fit into this scheme of the first 5 examples:
A Cornu spiral has two asymptotic points.The spiral of Theodorus is a polygon.The Fibonacci Spiral consists of a sequence of circle arcs.The involute of a circle looks like an Archimedean, but is not: see Involute#Examples.
기하학적 특성
다음 고려 사항은 극좌표 방정식으로 설명할 수 있는 나선을 처리하는 것입니다 r=r(φ), 특히 경우에 따라 r(φ)=aφ^n (아르키메데스 나선, 쌍곡선, 페르마 나선, 리투 나선) 및 로그 나선 r=ae^kφ.
3차원나선
두 개의 잘 알려진 나선형 공간 곡선은 아래에 정의된 원뿔 나선과 구형 나선입니다. 우주 나선의 또 다른 예는 토로이달 나선입니다. [8] 이중 꼬인 나선이라고도 하는 나선 주위의 나선형[9]은 [10] 코일 코일 필라멘트와 같은 물체를 나타냅니다.
원뿔형 나선 conical spiral
구형 나선 Spherical spirals
모든 원통형지도 투영은 구형 나선의 기초로 사용될 수 있습니다 :지도에 직선을 그리고 구형 곡선의 일종 인 구에서 역 투영을 찾으십시오.
구형 나선의 가장 기본적인 계열 중 하나는 등장방형 투영에서 직선으로 투영되는 Clelia 곡선입니다. 이들은 경도와 공위도가 선형 관계에 있는 곡선으로, 평면의 아르키메데스 나선과 유사합니다. 방위각 등거리 투영 아래에서 Clelia 곡선은 평면 아르키메데스 나선으로 투영됩니다.
구형 나선의 또 다른 계열은 rhumb lines 또는 loxodromes로, Mercator 투영법에서 직선으로 투영됩니다. 이것은 일정한 방위로 항해하는 선박이 추적하는 궤적입니다. 모든 loxodrome (자오선과 평행선 제외)은 공위도에서 균일 한 간격을 유지하는 Clelia 곡선과 달리 매번 더 가까워지고 두 극 주위를 무한히 나선형으로 회전합니다. 입체 투영 하에서, loxodrome은 평면에서 로그 나선으로 투영됩니다.
자연에서 In nature
자연의 나선에 대한 연구는 오랜 역사를 가지고 있습니다. 크리스토퍼 렌 (Christopher Wren)은 많은 껍질이 로그 나선을 형성하는 것을 관찰했습니다. Jan Swammerdam은 Helix에서 Spirula에 이르는 광범위한 껍질의 일반적인 수학적 특성을 관찰했습니다. 헨리 노티지 모즐리(Henry Nottidge Moseley)는 외판류 껍질의 수학을 설명했다. 다르시 웬트워스 톰슨(D'Arcy Wentworth Thompson)의 '성장과 형태에 관하여(On Growth and Form)'는 이러한 나선에 대한 광범위한 처리를 제공한다. 그는 고정된 축을 중심으로 닫힌 곡선을 회전시켜 껍질이 어떻게 형성되는지를 설명하는데, 곡선의 모양은 고정되어 있지만 크기는 기하학적 진행으로 커집니다. 노틸러스 (Nautilus) 및 암모나이트 (Ammonites)와 같은 일부 쉘에서는 생성 곡선이 축에 수직 인 평면에서 회전하고 쉘은 평면 원반형 모양을 형성합니다. 다른 경우에는 나선형 패턴을 형성하는 기울기 경로를 따릅니다. Thompson은 또한 뿔, 이빨, 발톱 및 식물에서 발생하는 나선을 연구했습니다. [12]
해바라기 머리에있는 작은 꽃의 패턴에 대한 모델은 H. Vogel에 의해 제안되었습니다 [13]. 이것은 다음과 같은 형식입니다.
여기서 n은 작은 꽃의 인덱스 번호이고 c는 일정한 스케일링 계수이며 페르마 나선의 한 형태입니다. 각도 137.5°는 황금 비율과 관련이 있는 황금 각도이며 작은 꽃의 밀착 포장을 제공합니다. [14]
식물과 동물의 나선은 종종 소용돌이로 묘사됩니다. 이것은 또한 나선형 지문에 주어진 이름이기도합니다.
The study of spirals in nature has a long history. Christopher Wren observed that many shells form a logarithmic spiral; Jan Swammerdam observed the common mathematical characteristics of a wide range of shells from Helix to Spirula; and Henry Nottidge Moseley described the mathematics of univalve shells. D’Arcy Wentworth Thompson's On Growth and Form gives extensive treatment to these spirals. He describes how shells are formed by rotating a closed curve around a fixed axis: the shape of the curve remains fixed, but its size grows in a geometric progression. In some shells, such as Nautilus and ammonites, the generating curve revolves in a plane perpendicular to the axis and the shell will form a planar discoid shape. In others it follows a skew path forming a helico-spiral pattern. Thompson also studied spirals occurring in horns, teeth, claws and plants.[12]
A model for the pattern of florets in the head of a sunflower[13] was proposed by H. Vogel. This has the form
where n is the index number of the floret and c is a constant scaling factor, and is a form of Fermat's spiral. The angle 137.5° is the golden angle which is related to the golden ratio and gives a close packing of florets.[14]
Spirals in plants and animals are frequently described as whorls. This is also the name given to spiral shaped fingerprints.